Question

19．已知f（x）=x|x-a|+b，x∈R．
（1）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，若$f（x）=\frac{5}{4}$，求x的值；
（2）若b＜0，且對(duì)任何x∈（0，1]不等式f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)=1，b=1代入函數(shù)解析式，在函數(shù)解析式中，然后分類去絕對(duì)值，求解關(guān)于x 的方程后得答案；
（2）在b＜0的前提下，在x∈（0，1]時(shí)，把不等式恒成立轉(zhuǎn)化為$x+\frac{x}＜a＜x-\frac{x}$，由單調(diào)性求得左側(cè)函數(shù)的最大值和右側(cè)函數(shù)的最小值得a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，b=1時(shí)，f（x）=x|x-1|+1，
由$f（x）=\frac{5}{4}$，得x|x-1|+1=$\frac{5}{4}$，
即x|x-1|=$\frac{1}{4}$
若x≥1時(shí)，方程等價(jià)為x²-x=$\frac{1}{4}$，即4x²-4x-1=0，得x=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$或x=$\frac{1-\sqrt{2}}{2}$（舍），
若x＜1時(shí)，方程等價(jià)為-x²+x=$\frac{1}{4}$，即4x²-4x+1=0，得x=$\frac{1}{2}$，
綜上x=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$或x=$\frac{1}{2}$；
（2）當(dāng)x∈（0，1]，此時(shí)原不等式變?yōu)?|x-a|＜\frac{-b}{x}$，
即$x+\frac{x}＜a＜x-\frac{x}$，
故${（x+\frac{x}）_{max}}＜a＜{（x-\frac{x}）_{min}}，x∈（{0，1}]$，
∵b＜0，
∴函數(shù)$g（x）=x+\frac{x}$在（0，1]上單調(diào)遞增，
∴${（x+\frac{x}）_{max}}=g（1）=1+b$，
令h（x）=x-$\frac{x}$，則h（x）在（0，$\sqrt{-b}$） 上單調(diào)遞減，[$\sqrt{-b}$，+∞）單調(diào)遞增
當(dāng)b＜-1時(shí)，h（x）=x-$\frac{x}$在0＜x≤1上單調(diào)遞減；
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b，∴1+b＜a＜1-b．
而-1≤b＜0時(shí)，h（x）=x-$\frac{x}$≥2$\sqrt{x•（-\frac{x}）}$=2$\sqrt{-b}$．
∴a＜h_min（x）=2 $\sqrt{-b}$．
∴1+b＜a＜2 $\sqrt{-b}$，
∴此時(shí)a的取值范圍是（1+b，2$\sqrt{-b}$ ）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查恒成立問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，屬有一定難度題目．