Question

下列函數中，既是奇函數又在其定義域內是增函數的是（　　）

• A、f（x）=cosx
• B、f（x）=sinx+x
• C、f（x）=x²+1
• D、f（x）=x³-3x

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數奇偶性的判斷

專題：函數的性質及應用

分析：根據函數的奇偶性與單調性的定義，逐一判定A、B、C、D中的函數是否滿足條件．

解答： 解：對于A，f（x）=cosx是定義域上的偶函數，∴不滿足條件；
對于B，∵f（x）=sinx+x，∴f（-x）=sin（-x）+（-x）=-（sinx+x）=-f（x），∴f（x）是奇函數，
又f′（x）=cosx+1≥0，∴f（x）是定義域上的增函數，∴滿足條件；
對于C，f（x）=x²+1是定義域上的偶函數，∴不滿足條件；
對于D，∵f（x）=x³-3x，∴f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x=±1，
∴f（x）在其定義域內不是單調函數，∴不滿足條件．
故選：B．

點評：本題考查了函數的奇偶性與單調性的判定問題，解題時應根據函數的奇偶性與單調性的定義，判定選項中的函數是否滿足題意，是基礎題．