Question

17．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M（-1，0）且斜率為k的直線l與拋物線C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k₁，k₂，且（k₁-1）（k₂-1）＜0．
（1）求k的取值范圍；
（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，求△MNB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線L：x=my-1，代入拋物線方程整理得y²-4my+4=0，利用直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k₁，k₂，且（k₁-1）（k₂-1）＜0，求出m的范圍，即可求k的取值范圍；
（2）設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N，證明點(diǎn)F在直線BD上，即可求△MNB面積的取值范圍．

解答 解：（1）拋物線C：y²=4x①的焦點(diǎn)為F（1，0），
設(shè)過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線L：x=my-1，
代入①，整理得y²-4my+4=0，
設(shè)L與C 的交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4m，y₁y₂=4，△=16m²-16＞0，
∴|m|＞1
∵直線FA，F(xiàn)B的斜率分別為k₁，k₂，且（k₁-1）（k₂-1）＜0，
∴（$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-1}$-1）（$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$-1）＜0，
∴（1-m）²y₁y₂+2（1-m）（y₁+y₂）+4＜0，
∴4（1-m）²+8m（1-m）+4＜0，
∴m＜-$\sqrt{2}$或m＞$\sqrt{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜k＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$且k≠0；
（2）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N為（x₁，-y₁）．設(shè)D（x₂，y₂），
BD的斜率k₁=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{4}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，
BF的斜率k₂=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-1}$．
要使點(diǎn)F在直線BD上，需k₁=k₂
需4（x₂-1）=y₂（y₂-y₁），
需4x₂=y₂²，
上式成立，∴k₁=k₂，
∴點(diǎn)F在直線BD上．
∴△MNB面積S=$\frac{1}{2}×2×$|y₂+y₁|=|4m|＞4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．