Question

2．已知非常數數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1²-3a_n+1a_n+2a_n²=0（n∈N^*）；數列{b_n}滿足$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=n²（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}和{b_n}的通項公式a_n，b_n；
（2）令c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$，求數列{c_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）非常數數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1²-3a_n+1a_n+2a_n²=0（n∈N^*），通過因式分解可得：a_n+1=2a_n，再利用等比數列的通項公式即可得出．
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（1）∵非常數數列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1²-3a_n+1a_n+2a_n²=0（n∈N^*），
∴（a_n+1-a_n）（a_n+1-2a_n）=0，
∴a_n+1=2a_n，a_n+1=a_n=1舍去．
∴數列{a_n}是等比數列，公比為2，
∴a_n=2^n-1．
∵數列{b_n}滿足$\frac{1}{_{1}}$+$\frac{1}{_{2}}$+$\frac{1}{_{3}}$+…+$\frac{1}{_{n}}$=n²（n∈N^*），
∴n=1時，$\frac{1}{_{1}}$=1，解得b₁=1．
當n≥2時，$\frac{1}{_{n}}$=n²-（n-1）²=2n-1．
∴b_n=$\frac{1}{2n-1}$（n=1時也成立）．
∴b_n=$\frac{1}{2n-1}$．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{_{n}}$=（2n-1）×2^n-1，
∴數列{c_n}的前n項和T_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）×2^n-1，
2T_n=2+3×2²+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ，
∴-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）×2ⁿ=1+2×$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）×2ⁿ=（3-2n）×2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ+3．

點評 本題考查了“錯位相減法”、等比數列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．