Question

2．已知圓${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x+4y-4=0$，圓${C_2}：{x^2}+{y^2}+2x+2y-2=0$，圓${C_3}：{x^2}+{y^2}-2x-2y-\frac{14}{5}=0$，則圓C₁與圓C₂的公共弦所在的直線被圓C₃所截得的弦長(zhǎng)為4．

Answer 1

分析 利用兩圓相減得到公共弦的方程，利用直線和圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵圓${C_1}：{x^2}+{y^2}-2x+4y-4=0$，圓${C_2}：{x^2}+{y^2}+2x+2y-2=0$，
∴兩式相減得公共弦方程為4x-2y+2=0，即2x-y+1=0，
由${C_3}：{x^2}+{y^2}-2x-2y-\frac{14}{5}=0$得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y-1）²=$\frac{24}{5}$，
則圓心C₃坐標(biāo)為（1，1），半徑R=$\sqrt{\frac{24}{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
∴圓心C₃到2x-y+1=0的距離d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{{2}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
則公共弦所在的直線被圓C₃所截得的弦長(zhǎng)為2$\sqrt{{R}^{2}-nf77jd9^{2}}$=2$\sqrt{\frac{24}{5}-\frac{4}{5}}$=2$\sqrt{4}$=2×2=4，
故答案為：4

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩圓公共弦的求解以及直線和圓相交時(shí)弦長(zhǎng)公式的即可，考查學(xué)生的計(jì)算能力．