Question

17．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=6，S₇=56，數(shù)列{b_n}前n項和為T_n，且2T_n-3b_n+2=0．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）設${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，求數(shù)列{c_n}的前n項和Q_n．

Answer 1

分析 （I）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，由于a₃=6，S₇=56，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=56}\end{array}\right.$，解出即可得出．由數(shù)列{b_n}前n項和為T_n，且2T_n-3b_n+2=0．利用遞推關系即可得出．
（II）對n分類討論，分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答 解：（I）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=6，S₇=56，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=6}\\{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=56}\end{array}\right.$，解得a₁=d=2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
∵數(shù)列{b_n}前n項和為T_n，且2T_n-3b_n+2=0．
∴2b₁-3b₁+2=0，解得b₁=2．
當n≥2時，2T_n-1-3b_n-1+2=0，
∴2b_n-3b_n+3b_n-1=0，
∴b_n=3b_n-1，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為3．
∴b_n=2×3^n-1．
（II）${c_n}=\left\{{\begin{array}{l}{{a_n}，n為奇數(shù)}\\{{b_n}，n為偶數(shù)}\end{array}}\right.$，
當n=2k-1（k∈N^*）時，數(shù)列{c_n}的前n項和Q_n=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k-2）
=2[1+3+…+（2k-1）]+2×（3+3³+…+3^2k-3）
=$2×\frac{k（1+2k-1）}{2}$+2×$\frac{3（{9}^{k-1}-1）}{9-1}$
=2k²+$\frac{3}{4}（{9}^{k-1}-1）$
=$2×（\frac{n+1}{2}）^{2}$+$\frac{3}{4}×（{9}^{\frac{n-1}{2}}-1）$．
當n=2k（k∈N^*）時，數(shù)列{c_n}的前n項和Q_n=（a₁+a₃+…+a_2k-1）+（b₂+b₄+…+b_2k）
=2[1+3+…+（2k-1）]+2×（3+3³+…+3^2k-1）
=2k²+$2×\frac{3（{9}^{k}-1）}{9-1}$
=$\frac{{n}^{2}}{2}$+$\frac{3}{4}（{9}^{\frac{n}{2}}-1）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．