Question

已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在銳角三角形ABC中，若f（A）=1，bc=2，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由周期公式可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由已知得sin（2A+

π

3

）=

1

2

，可解得：2A+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，或2A+

π

3

=2kπ+

π

6

，k∈Z（舍去），又△ABC為銳角三角形，可得A，又bc=2，由三角形面積公式即可得解．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

3

）=1，即有：sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∴可解得：2A+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，或2A+

π

3

=2kπ+

π

6

，k∈Z（舍去），
∴可解得：A=kπ+

π

4

，k∈Z，
又△ABC為銳角三角形，
則A=

π

4

，又bc=2，
則△ABC的面積S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

2

2

=

2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性，考查了余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．