Question

10．設橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過點F₁的直線與C交于點P，Q．若|PF₂|=|F₁F₂|，且3|PF₁|=4|QF₁|，則$\frac{a}$的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{5}{7}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$
• D． $\frac{{2\sqrt{6}}}{5}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，由|PF₂|=|F₁F₂|，3|PF₁|=4|QF₁|，利用橢圓的定義可得：|PF₁|=2a-2c，進一步求出|QF₁|，|QF₂|，在等腰△PF₁F₂中，求得得cos∠PF₁F₂．在△QF₁F₂中，由余弦定理可得cos∠QF₁F₂，利用cos∠PF₁F₂+cos∠QF₁F₂=0，化簡求得5a=7c，兩邊平方后結合隱含條件求得$\frac{a}$的值．

解答 解：如圖所示，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴|PF₂|=2c，則|PF₁|=2a-2c．
∵3|PF₁|=4|QF₁|，
∴|QF₁|=$\frac{3}{4}（2a-2c）=\frac{3}{2}（a-c）$，
則$|Q{F}_{2}|=2a-\frac{3}{2}（a-c）=\frac{a}{2}+\frac{3}{2}c$．
在等腰△PF₁F₂中，可得cos∠PF₁F₂=$\frac{\frac{1}{2}|P{F}_{1}|}{|{F}_{1}{F}_{2}|}$=$\frac{a-c}{2c}$．
在△QF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠QF₁F₂=$\frac{\frac{9}{4}（a-c）^{2}+4{c}^{2}-\frac{1}{4}（a+3c）^{2}}{2×2c×\frac{3}{2}（a-c）}$，
由cos∠PF₁F₂+cos∠QF₁F₂=0，得
$\frac{a-c}{2c}$+$\frac{\frac{9}{4}（a-c）^{2}+4{c}^{2}-\frac{1}{4}（a+3c）^{2}}{2×2c×\frac{3}{2}（a-c）}$=0，
整理得：$\frac{5a-7c}{6c}=0$，∴5a=7c，
則25a²=49c²=49（a²-b²），
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}=\frac{24}{49}$，即$\frac{a}=\frac{2\sqrt{6}}{7}$．
故選：C．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查三角形中余弦定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．