Question

拋物線y=x²+4x上一點P處的切線的傾斜角為45°，切線與x，y軸的交點分別是A，B，則△AOB的面積為

 

．

Answer 1

分析：由題意和導數(shù)的幾何意義求出點P的坐標，再求出切線方程，然后求出A、B兩點的坐標，進而可求長度及直線AB的方程，再求原點到AB得距離即為三角形邊AB上的高，再代入三角形的面積公式求解．

解答：解：設點P的坐標為（x，y），
由題意，y'=2x+4且過P點的切線的斜率k=tan45°=1，
∴由導數(shù)的幾何意義得，1=2x+4，x=-

3

2

；代入y=x²+4x解得，y=-

15

4

，
∴P的坐標為（-

3

2

，-

15

4

），
∴過P點的切線的方程為y+

15

4

=x+

3

2

，即x-y-

3

2

=0，
令y=0，x=

3

2

，令x=0，y=-

3

2

；∴A（

3

2

，0），B（0，-

3

2

）
∴|AB|=

( 3 2 -0)2+(0+ 3 2 )2

=

3 2

2

，直線AB的方程為x-y-

3

2

=0；
∴點O（0，0）到直線AB的方程得距d=

|- 3 2 |

1+1

=

3 2

4

，
∴△AOB的面積S=

1

2

×|AB|×d=

9

8

．故答案為：

9

8

．

點評：本題考查了根據(jù)導數(shù)的幾何意義如何求切點和切線方程，還有直線方程及三角形的面積求法，是一道好題．