Question

15．如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
（1）求PB與EC所成角的余弦值；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，EC，說(shuō)明PB與EC所成角就是∠CEO，利用余弦定理求解即可．
（2）取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，根據(jù)定義可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角，在△EOF中求出此角．

解答 解：（1）連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，EC，
則EO是△PDB的中位線，PB∥EO，
PB與EC所成角就是∠CEO，
AB=AC=$\frac{1}{2}$PA=1，可得AG=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，PA=2，EF=1，EC=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
OE=$\sqrt{1+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，OC=1，
cos∠CEO=$\frac{\frac{5}{4}+\frac{6}{4}-1}{2×\frac{\sqrt{5}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}}$=$\frac{7\sqrt{30}}{60}$．
（2）連BD交AC于點(diǎn)O，連EO，EC，
則EO是△PDB的中位線，
取AD的中點(diǎn)F，連EF，F(xiàn)O，
則EF是△PAD的中位線，
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位線，
∴FO∥AB，F(xiàn)O⊥AC由三垂線定理可知∠EOF是二面角E-AC-D的平面角．
又FO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$PA=EF
∴∠EOF=45°，故所求二面角E-AC-D的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面平行的判定，異面直線所成角以及二面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．