Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{（3a-1）x+4a，x＜1}\\{{{log}_a}x，x≥1}\end{array}}\right.$，若a=2，求f（f（2））=0；若f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是[$\frac{1}{7}$，$\frac{1}{3}$）．

Answer 1

分析 a=2時(shí)便可求出f（x）的解析式，從而可得出f（2）的值，進(jìn)而得出f（f（2））的值；根據(jù)f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，從而可討論f（x）為R上的減函數(shù)和增函數(shù)，然后根據(jù)一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷便可建立關(guān)于a的不等式組，解出a的取值范圍即可．

解答 解：a=2時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{5x+8}&{x＜1}\\{lo{g}_{2}x}&{x≥1}\end{array}\right.$；
∴f（2）=1，f（f（2））=f（1）=0；
∵f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)；
∴（1）若f（x）是R上的減函數(shù)，則：
$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＜0}\\{0＜a＜1}\\{（3a-1）•1+4a≥lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$；
解得$\frac{1}{7}≤a＜\frac{1}{3}$；
（2）若f（x）是R上的增函數(shù)，則：
$\left\{\begin{array}{l}{3a-1＞0}\\{a＞1}\\{（3a-1）•1+4a≤lo{g}_{a}1}\end{array}\right.$；
解得a∈∅；
∴綜上得，a的取值范圍是$[\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）$．
故答案為：0，$[\frac{1}{7}，\frac{1}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查分段函數(shù)求值的方法，以及一次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的定義，以及分段函數(shù)單調(diào)性的判斷．