【題目】已知函數(shù).

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）記函數(shù)的兩個零點(diǎn)分別為，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間即可; （Ⅱ）分離參數(shù)得： ,從而可得恒成立；再令,從而可得不等式在上恒成立，再令，從而利用導(dǎo)數(shù)化恒成立問題為最值問題即可．

試題解析：（Ⅰ）依題意，函數(shù)的定義域為，

，

當(dāng)時， 恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，令，得；令，得；

故函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

（Ⅱ）由（I）可知分別為方程的兩個根，即， ，

所以原式等價于.

因為， ，所以原式等價于，

又由， 作差得， ，即.

所以原式等價于.

因為，原式恒成立，即恒成立.

令，則不等式在上恒成立.

令，則，

當(dāng)時，可見時， ，所以在上單調(diào)遞增，又在恒成立，符合題意；

當(dāng)時，可見當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，

所以在時單調(diào)遞增，在時單調(diào)遞減.

又，所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去.

綜上所述，若不等式恒成立，只須，又，所以.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn).

（1）求的取值范圍；

（2）記兩個零點(diǎn)分別為，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

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現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min，在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C．假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測量，cos A＝，cos C＝．

（1）求索道AB的長；

（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？

（3）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

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