Question

10．已知函數f（x）=（3-a）x-2+a-2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a≤3，試討論函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若函數f（x）＞x在（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導函數$f'（x）=（3-a）-\frac{2}{x}（x＞0）$，通過當a＜3時，當a=3時，當a＜3時，分別求解函數的單調區(qū)間即可．
（Ⅱ）轉化不等式（2-a）（x-1）-2lnx＞0在$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立，分離變量，構造函數，通過形式的單調性，求解最值，然后推出結果．

解答 解：（Ⅰ）$f'（x）=（3-a）-\frac{2}{x}（x＞0）$，…（1分）
當a＜3時，由f'（x）＞0，得$x＞\frac{2}{3-a}$，
由f'（x）＜0，得$0＜x＜\frac{2}{3-a}$，…（3分）
所以f（x）的單調遞增區(qū)間是$（\frac{2}{3-a}，+∞）$，單調遞減區(qū)間是$（0，\frac{2}{3-a}）$．…（4分）
當a=3時，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
此時f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞），…（5分）
綜上，當a=3時，f（x）的單調遞增區(qū)間是（0，+∞）；
當a＜3時，f（x）的單調遞增區(qū)間是$（\frac{2}{3-a}，+∞）$，單調遞減區(qū)間是$（0，\frac{2}{3-a}）$．…（6分）
（Ⅱ）由題意得（2-a）（x-1）-2lnx＞0在$（0，\frac{1}{2}）$上恒成立，
即對$x∈（0，\frac{1}{2}）$，$a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，…（7分）
令$g（x）=2-\frac{2lnx}{x-1}$，則${g^/}（x）=\frac{{2lnx+\frac{2}{x}-2}}{{{{（x-1）}^2}}}$，…（8分）
再令$h（x）═2lnx+\frac{2}{x}-2，x∈（0，\frac{1}{2}）$，則${h^/}（x）=\frac{2}{x}-\frac{2}{x^2}=-\frac{2（1-x）}{x^2}＜0$，
故h（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是減函數，于是$h（x）＞h（\frac{1}{2}）=2-2ln2＞0$，…（10分）
從而g′（x）＞0，所以g（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是增函數，$g（x）＜g（\frac{1}{2}）=2-4ln2$，…（11分）
故要$a＞2-\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只要a≥2-4ln2，
所以實數a的取值范圍為[2-4ln2，+∞）．…（12分）
（其他做法酌情給分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調性以及函數的最值的求法，考查構造法以及轉化思想的應用，考查計算能力．