Question

16．已知函數(shù)f（x）=e^x-ln（x+1）
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）證明：$e+{e^{\frac{1}{2}}}+{e^{\frac{1}{3}}}+…+{e^{\frac{1}{n}}}≥ln（n+1）（n∈{N^*}，e為常數(shù)）$．

Answer 1

分析 （1）充分利用導數(shù)與導函數(shù)零點研究函數(shù)的單調(diào)性，由圖形單調(diào)性求函數(shù)的最值即可；
（2）由（1）知當x=0時，f（x）取得最小值，即f（x）≥1，即：e^x≥ln（x+1）+1；取x=$\frac{1}{n}$，則${e}^{\frac{1}{n}}≥ln（\frac{1}{n}+1）+1$=ln（n+1）-lnn+1，利用累加法即可得證．

解答 解：（1）由題意知，f（x）的定義域為：x＞-1；
對f（x）求導：f'（x）=e^x-$\frac{1}{x+1}$
對f'（x）求導有：f''（x）=e^x+$\frac{1}{（x+1）^{2}}$＞0，所以f'（x）為（-1，+∞）上單調(diào)增函數(shù)；
令f'（x）=0，則有x=0；
所以，當x∈（-1，0）時，f'（x）＜0，f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減；
當x∈（0，+∞）時，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
故f（x）的最小值為f（0）=1．
（2）由（1）知當x=0時，f（x）取得最小值，即f（x）≥1
∴e^x-ln（x+1）≥1，即e^x≥ln（x+1）+1
取x=$\frac{1}{n}$，則${e}^{\frac{1}{n}}≥ln（\frac{1}{n}+1）+1$=ln（n+1）-lnn+1
于是e≥ln2-ln1+1；
${e}^{\frac{1}{2}}$≥ln3-ln2+1；
${e}^{\frac{1}{3}}$≥ln4-ln3+1；
…
${e}^{\frac{1}{n}}\\;≥$≥ln（n+1）-lnn+1；
累加得：e+${e}^{\frac{1}{2}}$+${e}^{\frac{1}{3}}$+…+${e}^{\frac{1}{n}}$≥ln（n+1），（n∈N^*）
故得證．

點評 本題主要考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值，以及構(gòu)造法與累加法的應(yīng)用，屬中等題．