分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出函數(shù)的極值即可;
(Ⅱ)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)討論a的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出a的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)由題意得:f(x)的定義域是(0,+∞),
f′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$,
①a≤0時(shí),x-a≥0恒成立,即f′(x)>0恒成立,
f(x)在(0,+∞)上遞增,無(wú)極值;
②a>0時(shí),令f′(x)=0得:x=a,
x∈(0,a)時(shí),f′(x)<0,x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)>0,
故函數(shù)在(0,a)上遞減,在(a,+∞)遞增,
故x=a時(shí),取極小值,無(wú)極大值,極小值是f(a)=lna-a+1;
(Ⅱ)∵g(x)=f(x+1),∴g(x)=ln(x+1)-$\frac{ax}{x+1}$,
g(x)的定義域是(-1,+∞),
g′(x)=$\frac{x+1-a}{{(1+x)}^{2}}$,
①0<a≤1時(shí),g′(x)>0,對(duì)x>0恒成立,
g(x)在(0,+∞)遞增,
g(x)>g(0)=0,滿足題意;
②a>1時(shí),x∈(0,a-1),g′(x)<0,g(x)在(0,a-1)遞減,
x∈(a-1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)在(a-1,+∞)遞增,
若對(duì)任意x≥0,恒有g(shù)(x)≥0,則g(x)的最小值g(a-1)=lna+1-a≥0恒成立,
令m(a)=lna+1-a,則m′(a)=$\frac{1-a}{a}$,m′(a)<0,m(a)在(1,+∞)遞減,
∴在a∈(1,+∞)時(shí),有m(x)<m(1)=0,
與g(a-1)=lna+1-a≥0恒成立,矛盾,
∴a的范圍是:0<a≤1.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題,是一道中檔題.
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