Question

若函數(shù)f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則函數(shù)F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）的最大值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，然后再將F（x）表示出來(lái)，利用三角變換化成一個(gè)角、一種三角函數(shù)、一次的形式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值．

解答： 解：由已知得f′（x）=cosx-sinx，所以F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）
=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+（sinx+cosx）²．
=cos²x-sin²x+2sinxcosx+1
=cos2x+sin2x+1
=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
因?yàn)?span id="eiew8ke" class="MathJye">sin(2x+

π

4

)≤1，
所以F（x）的最大值為1+

2

．
故答案為1+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，然后再得到F（x），將其化簡(jiǎn)成形如y=Asin（ωx+θ）的形式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．