Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}，其前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a₁＞1，6S_n=a_n²+3a_n+2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T(mén)_n，且滿足a_n+1T_n=a_nT_n+1-9n²-3n+2．問(wèn)b₁為何值時(shí)，數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（Ⅲ） 求證：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

2

3

(

3n+2

-

2

)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由題意，得6Sn=an2+3an+2，6Sn+1=

a

2 n+1

+3an+1+2，從而a_n+1-a_n=3，由此能求出a_n=3n-1．（Ⅱ）由已知得

Tn+1

3n+2

-

Tn

3n-1

=1，數(shù)列{

Tn

3n-1

}是以

T1

2

為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，由此能求出b₁=2．（Ⅲ）由

1

an

=

1

3n-1

=

2

2 3n-1

＞

2

3n-1 + 3n+2

=

2( 3n+2 - 3n-1 )

3

，能證明

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

2

3

(

3n+2

-

2

)．

解答： （Ⅰ）解：由題意，得6Sn=an2+3an+2①
6Sn+1=

a

2 n+1

+3an+1+2②
②-①得6an+1=

a

2 n+1

+3an+1-an2-3an
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0…2分
因?yàn)閍_n＞0，所以a_n+1-a_n=3
又n=1時(shí)，6a1=a12+3a1+2，
即（a₁-1）（a₁-2）=0
又a₁＞1，a₁=2
所以a_n=3n-1．…4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及題意，得：
(3n-1)Tn+1-(3n+2)Tn=9n2-3n+2=(3n-1)(3n+2)
即

Tn+1

3n+2

-

Tn

3n-1

=1，
所以數(shù)列{

Tn

3n-1

}是以

T1

2

為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，…6分
所以

Tn

3n-1

=

T1

2

+n-1，
即Tn=(

T1

2

+n-1)(3n-1)，
若數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列，則

T1

2

-1=0，即T₁=2，
所以b₁=2．（此時(shí)b_n=6n-4）…8分
（Ⅲ）證明：由（Ⅰ）及題意，得：

1

an

=

1

3n-1

=

2

2 3n-1

＞

2

3n-1 + 3n+2

=

2( 3n+2 - 3n-1 )

3

…11分
所以

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

2

3

(

5

-

2

+

8

-

5

+…+

3n+2

-

3n-1

)
故

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

2

3

(

3n+2

-

2

)．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等差數(shù)列的首項(xiàng)的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．