Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若函數(shù)g（x）=

f(x)-x

x

是奇函數(shù)，求函數(shù)h（x）=lg

b+1-2x

b+2x

的值域；
（2）若a=2且當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）的最大值與最小值之差總不大于6，試求b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）運(yùn)用奇函數(shù)的定義，可得b=1，再由指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的值域和單調(diào)性，即可得到所求值域；
（2）求出二次函數(shù)的對(duì)稱軸，討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，進(jìn)而確定最值，解不等式，即可得到b的取值范圍．

解答： 解：（1）g（x）=

f(x)-x

x

=ax+

c

x

+b-1，由g（x）為奇函數(shù)，則g（-x）=-g（x），
即-ax-

c

x

+b-1=-ax-

c

x

-b+1，則有b=1．
則h（x）=lg

2-2x

1+2x

，令t=

2-2x

1+2x

=-1+

3

1+2x

∈（0，2），則有h（x）＜lg2．
即有h（x）的值域?yàn)椋?∞，lg2）；
（2）由題意：f(x)=2x2+bx+c=2(x+

b

4

)2+c-

b2

8

，
設(shè)f（x）在[-1，1]上的最大值與最小值分別為M，m
當(dāng)

|b|

4

≥1，|b|≥4，M-m=|f(1)-f(-1)|=2|b|≥8，與題意不符，舍去；
當(dāng)|b|＜4，M=max{f（1），f（-1）}=2+|b|+c，m=c-

b2

8

，
則M-m=2+|b|+c-c+

b2

8

=2+|b|+

b2

8

≤6，解得，|b|≤4

3

-4，
即為4-4

3

≤b≤4

3

-4．
綜上，可得b的取值范圍是[4-4

3

，4

3

-4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，考查函數(shù)的奇偶性和值域，考查二次函數(shù)的值域問題，注意對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．