Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ln（1+x2）+ax．（a≤0）
（1）若f（x）在x=0處取得極值，求a的值；
（2）討論f（x）的單調(diào)性；
（3）證明：（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜ （n∈N* ， e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，∵x=0使f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，則f'（0）=0，

∴a=0，驗(yàn)證知a=0符合條件

（2）解：∵

①若a=0時(shí)，∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減；

②若 得，當(dāng)a≤﹣1時(shí)，f'（x）≤0對(duì)x∈R恒成立，

∴f（x）在R上單調(diào)遞減．

③若﹣1＜a＜0時(shí)，由f'（x）＞0得ax2+2x+a＞0

∴

再令f'（x）＜0，可得

∴ 上單調(diào)遞增，

在

綜上所述，若a≤﹣1時(shí)，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減；

若﹣1＜a＜0時(shí)， 上單調(diào)遞增 上單調(diào)遞減；

若a=0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，在（﹣∞，0）單調(diào)遞減

（3）解：由（2）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)，f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞減

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，由f（x）＜f（0）=0

∴l(xiāng)n（1+x2）＜x，∴l(xiāng)n[（1+ ）（1+ ）…（1+ ）]=ln（1+ ）+ln（1+ ）+…+ln（1+ ）

＜ + +…+ = = （1﹣ ）＜ ，∴（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜ =

【解析】（1）求出f′（x），因?yàn)閒（x）在x=0時(shí)取得極值，所以f'（0）=0，代入求出a即可；（2）分三種情況：a=0；a≤﹣1；﹣1＜a＜0，令f′（x）＞0得到函數(shù)的遞增區(qū)間；令f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間即可；（3）由（2）知當(dāng)a=﹣1時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，所以得到ln（1+x2）＜x，利用這個(gè)結(jié)論根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)不等式的左邊得證即可．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識(shí)，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，以及對(duì)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．