Question

3．已知函數(shù)$f（x）={sin^2}ωx+\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{1}{2}（ω＞0）$的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性得出結(jié)論．
（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得到g（x）的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答 解：（1）$f（x）={sin^2}ωx+\sqrt{3}sinωxcosωx-\frac{1}{2}（ω＞0）$=$\frac{1-cos2ωx}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）$．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最小正周期為π，所以$\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1．
（2）由（1）可得，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），把函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位后，
得到y(tǒng)=g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$-\frac{π}{3}+kπ≤x≤\frac{π}{6}+kπ，k∈Z$．
當(dāng)k=0時(shí)，$-\frac{π}{3}≤x≤\frac{π}{6}$；
當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{2π}{3}≤x≤\frac{7π}{6}$．
所以函數(shù)g（x）在區(qū)間[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為$[0，\frac{π}{6}]，[\frac{2π}{3}，π]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，屬于中檔題．