Question

【題目】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中， AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，M是CC1的中點，N是BC的中點，點P在線段A1B1上運動．

（Ⅰ）求證：PN⊥AM；

（Ⅱ）試確定點P的位置，使直線PN和平面ABC所成的角

最大．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）D為AB的中點，P為A1B1的中點

【解析】試題分析：

(Ⅰ)由題意結(jié)合攝影定理即可證得PN⊥AM；

(Ⅱ)由幾何關(guān)系，角的正切值越大，則角度值越大，據(jù)此可得最大時，D為AB的中點，P為A1B1的中點。

試題解析：

方法一：幾何法

(Ⅰ) 取AC的中點Q，連結(jié)A1Q，易知AM⊥A1Q，

又PN在平面A1C內(nèi)的射影為A1Q，所以AM⊥PN.

(Ⅱ) 作PD⊥AB于D，連結(jié)DN，則為直

線PN和平面ABC所成的角。易知當(dāng)ND最短即ND⊥AB

時， 最大，從而最大，此時D為AB的中點，P為A1B1的中點。

方法二：向量法，略。