Question

已知函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=-（x-1）²+16，令g（x）=（2-2a）x-f（x）．
（1）若函數(shù)g（x）在x∈[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）求函數(shù)g（x）在x∈[0，2]的最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,分段函數(shù)的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出g（x），根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，求g（x）的單調(diào)增區(qū)間，根據(jù)函數(shù)g（x）在[0，2]上是增函數(shù)，得到限制a的不等式，從而求得實數(shù)a的取值范圍；
（2）討論a的取值，判斷g（x）在[0，2]上的單調(diào)性及取得頂點情況，即可求出g（x）在[0，2]上的最小值．

解答： 解：（1）g（x）=x²-2ax-15；
∴該函數(shù)在[a，+∞）上為增函數(shù)；
又g（x）在[0，2]上是單調(diào)增函數(shù)；
∴a≤0；
（2）若a≤0，則g（x）_min=g（0）=-15；
若0＜a＜2，則g(x)min=g(a)=-a2-15；
若a≥2，則g（x）_min=g（2）=-4a-11．

點評：考查二次函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性及取得頂點的情況求二次函數(shù)的最值．