Question

13．已知{a_n}滿足a₁=1，a₂=1，a_n+2-a_n+1-a_n=0，x₁，x₂是方程x²=x+1兩根．求證：
（1）數(shù)列{a_n+1-x₁a_n}，和{a_n+1-x₂a_n}均為等比數(shù)列．
（2）求a_n=？

Answer 1

分析 （1）由于x₁，x₂是方程x²=x+1，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=1，x₁x₂=-1．設(shè)a_n+2-αa_n+1=β（a_n+1-αa_n），化為a_n+2-（α+β）a_n+1+αβa_n=0，與a_n+2-a_n+1-a_n=0比較可得α+β=1，αβ=-1．即可證明．
（2）由x²-x-1=0，解得x_1，2=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．取x₁=α=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{2}=β=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，可得：a_n+2-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a_n+1=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$（{a}_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}{a}_{n}）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n+1-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a_n=$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$，變形為：a_n+1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$$•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n+1}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$[{a}_{n}+\frac{\sqrt{5}}{5}•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 （1）證明：∵x₁，x₂是方程x²=x+1，即x²-x-1=0的兩根，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-1．
設(shè)a_n+2-αa_n+1=β（a_n+1-αa_n），化為a_n+2-（α+β）a_n+1+αβa_n=0，
與a_n+2-a_n+1-a_n=0比較可得α+β=1，αβ=-1．
∴數(shù)列{a_n+1-x₁a_n}，和{a_n+1-x₂a_n}均為等比數(shù)列．
（2）解：由x²-x-1=0，解得x_1，2=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$．
取x₁=α=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，${x}_{2}=β=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，
則a_n+2-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a_n+1=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$（{a}_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}{a}_{n}）$，
∴數(shù)列$\{{a}_{n+1}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}{a}_{n}\}$是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比為$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$．
∴a_n+1-$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$a_n=$（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$，
變形為：a_n+1+$\frac{\sqrt{5}}{5}$$•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n+1}$=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$[{a}_{n}+\frac{\sqrt{5}}{5}•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$，
∴a_n+$\frac{\sqrt{5}}{5}$$•（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$$•\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$•（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n-1}$=$\frac{1}{\sqrt{5}}$•$（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}$，
∴a_n=$\frac{\sqrt{5}}{5}$$[（\frac{1+\sqrt{5}}{2}）^{n}-（\frac{1-\sqrt{5}}{2}）^{n}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．