15．求適合下列條件的圓錐曲線的標準方程并求出其離心率．
（1）焦點在x軸上，長軸長是10，短軸長8的橢圓方程；
（2）與橢圓$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{36}=1$有相同焦點，且過點$（\sqrt{15}，4）$的雙曲線方程．

分析 （1）由題意，a=5，b=4，即可求出焦點在x軸上的橢圓方程；
（2）求出橢圓的焦點坐標，利用雙曲線的定義求出2a，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意，a=5，b=4，焦點在x軸上的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}$=1；
（2）橢圓$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{36}=1$的焦點坐標為（0，±3），
∵雙曲線過點$（\sqrt{15}，4）$，
∴2a=$\sqrt{15+49}$-$\sqrt{15+1}$=4，
∴a=2，b=$\sqrt{5}$，
∴雙曲線方程為$\frac{{y}^{2}}{4}-\frac{{x}^{2}}{5}$=1．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的方程，考查學生的計算能力，屬于中檔題．

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