Question

20．若函數(shù)f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$存在唯一的極值點，且此極值大于0，則（　　）

• A． 0≤a＜$\frac{1}{e}$
• B． 0≤a＜$\frac{1}{{e}^{2}}$
• C． -$\frac{1}{e}$＜a＜$\frac{1}{{e}^{2}}$
• D． 0≤a＜$\frac{1}{e}$或a=-$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 先求導(dǎo)，再由f'（x）=0得到x=1或ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0（*），根據(jù)（*）無解和函數(shù)的極值大于0即可求出a的范圍，

解答 解：f（x）=a（x-2）e^x+lnx+$\frac{1}{x}$，x＞0，
∴f′（x）=a（x-1）e^x+$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-1）（ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
由f'（x）=0得到x=1或ae^x+$\frac{1}{{x}^{2}}$=0（*）
由于f（x）僅有一個極值點，
關(guān)于x的方程（*）必無解，
①當a=0時，（*）無解，符合題意，
②當a≠0時，由（*）得，a=-$\frac{1}{{e}^{x}{x}^{2}}$，∴a＞0
由于這兩種情況都有，當0＜x＜1時，f'（x）＜0，于是f（x）為減函數(shù)，
當x＞1時，f'（x）＞0，于是f（x）為增函數(shù)，
∴x=1為f（x）的極值點，
∵f（1）=-ae+1＞0，
∴a＜$\frac{1}{e}$
綜上可得a的取值范圍是[0，$\frac{1}{e}$）．
故選：A．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了分類討論的思想方法，考查了轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．