Question

15．在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD=120°，點E為棱PB的中點，點F在棱AD上，平面CEF與PA交于點K，且PA=AB=3，AF=2，則點K到平面PBD的距離為$\frac{9\sqrt{5}}{25}$．

Answer 1

分析 如圖所示，以AP為z軸，AD為y軸，取BC的中點M，以AM為x軸，建立空間直角坐標系．設(shè)K（0，0，m），則$\overrightarrow{CK}$=$a\overrightarrow{CE}$+b$\overrightarrow{CF}$，可得K坐標．設(shè)平面PBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，利用點K到平面PBD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{KP}|}{|\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 解：如圖所示，
以AP為z軸，AD為y軸，取BC的中點M，以AM為x軸，建立空間直角坐標系．則A（0，0，0），P（0，0，3），D（0，3，0），F(xiàn)（0，2，0），B（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3}{2}$，0），C（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$，0），E（$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$，$\frac{3}{2}$），
設(shè)K（0，0，m），則$\overrightarrow{CK}$=$a\overrightarrow{CE}$+b$\overrightarrow{CF}$，
∴（0，0，m）=$（\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}a}{4}-\frac{3\sqrt{3}b}{2}，\frac{3}{2}-\frac{9}{4}a+\frac{1}{2}b，\frac{3}{2}a）$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{4}$a-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$b=0，$\frac{3}{2}-\frac{9}{4}a+\frac{1}{2}b$=0，$\frac{3}{2}$a=m，
解得m=$\frac{6}{5}$，a=$\frac{4}{5}$，b=$\frac{3}{5}$．
$\overrightarrow{BD}$=$（-\frac{3\sqrt{3}}{2}，\frac{9}{2}，0）$，$\overrightarrow{PD}$=（0，3，-3）．
設(shè)平面PBD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PD}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{9}{2}y=0}\\{3y-3z=0}\end{array}\right.$，
取$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1）．
$\overrightarrow{KP}$=$（0，0，\frac{9}{5}）$．
∴點K到平面PBD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{KP}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{9}{5}}{\sqrt{5}}$=$\frac{9\sqrt{5}}{25}$．
故答案為：$\frac{9\sqrt{5}}{25}$．

點評 本題考查了空間位置關(guān)系、平面向量基本定理、法向量的應(yīng)用、點到平面的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．