Question

16．如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=AC，D是BC的中點，PO⊥平面ABC，垂足O落在線段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2．
（1）求證：AP⊥BC；
（2）若點M是線段AP是哪個一點，且AM=3．試證明平面AMC⊥平面BMC．

Answer 1

分析 （1）根據題意，建立如圖所示的空間坐標系，利用坐標表示出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{BC}$，證明$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$即可；
（2）根據M為AP上一點，且AM=3，求出點M的坐標，再求出平面BMC與平面AMC的法向量，
利用法向量證明平面AMC⊥平面BMC．

解答 解：以O為原點，以AD方向為Y軸正方向，以射線OP的方向為Z軸正方向，建立空間坐標系，
如圖所示；
則O（0，0，0），A（0，-3，0），B（4，2，0），C（-4，2，0），P（0，0，4）
（1）$\overrightarrow{AP}$=（0，3，4），$\overrightarrow{BC}$=（-8，0，0），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{BC}$=0×（-8）+3×0+4×0=0，
∴$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即AP⊥BC；
（2）∵M為AP上一點，且AM=3，
∴M（0，-$\frac{6}{5}$，$\frac{12}{5}$），
∴$\overrightarrow{AM}$=（0，$\frac{9}{5}$，$\frac{12}{5}$），
$\overrightarrow{BM}$=（-4，-$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$），
$\overrightarrow{CM}$=（4，-$\frac{16}{5}$，$\frac{12}{5}$）；
設平面BMC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-4a-\frac{16}{5}b+\frac{12}{5}c=0}\\{4a-\frac{16}{5}b+\frac{12}{5}c=0}\end{array}\right.$，
令b=1，則$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\frac{4}{3}$）；
設平面AMC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{5}y+\frac{12}{5}z=0}\\{4x-\frac{16}{5}y+\frac{12}{5}z=0}\end{array}\right.$，
令x=5，
則$\overrightarrow{m}$=（5，4，-3）；
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=0×5+1×4+$\frac{4}{3}$×（-3）=0，
得$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{m}$；即平面AMC⊥平面BMC．

點評 本題考查了線線垂直與面面垂直的判定與應用問題，解題時可以建立空間坐標系，把垂直問題轉化為向量垂直即數量積為0來解答，是綜合性題目．