Question

19．設向量$\overrightarrow a=（x，4）$，$\overrightarrow b=（7，-1）$，已知$|{\overrightarrow a{+}\overrightarrow b}|{=}|{\overrightarrow a}|$．
（I）求實數x的值；
（II）求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角的大�。�

Answer 1

分析 （I）利用向量數量積運算性質即可得出．
（II）利用向量夾角公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵$|{\overrightarrow a{+}\overrightarrow b}|{=}|{\overrightarrow a}|$．
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=${\overrightarrow{a}}^{2}$，即$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=0…（2分）
∴2（7x-4）+50=0，解得x=-3…（5分）
（Ⅱ）設$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，$\overrightarrow{a}$=（-3，4），$\overrightarrow$=（7，-1），∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=-21-4=-25，…（6分）
且$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，$|\overrightarrow|$=5$\sqrt{2}$…（8分），
∴$cosθ=\frac{{{a}•}}{{|{a}|||}}=\frac{-25}{{5×5\sqrt{2}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…（9分）
∵θ∈[0，π]，∴$θ=\frac{3π}{4}$，即a，b夾角為$\frac{3π}{4}$．…（10分）

點評 本題考查了向量數量積的運算性質、向量夾角公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．