2.已知函數(shù)f(x)=x|x-a|+2x,其中a∈R.
(1)若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),求a的取值范圍.
(2)若存在a∈[-2,4],使得關(guān)于x的方程f(x)=bf(a)有三個(gè)不相同的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

分析 (1)若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),則$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{a-2}{2}}\\{a≤\frac{2+a}{2}}\end{array}\right.$,即可求a的取值范圍.
(2)將a分區(qū)間討論,求出單調(diào)區(qū)間解出即可.

解答 解:(1)f(x)=x|x-a|+2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+(2-a)x,x≥a}\\{-{x}^{2}+(2+a)x,x<a}\end{array}\right.$,
由f(x)在R上是增函數(shù),則$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{a-2}{2}}\\{a≤\frac{2+a}{2}}\end{array}\right.$,即-2≤a≤2,則a范圍為-2≤a≤2
(2)①-2≤a≤2,f(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
關(guān)于x的方程f(x)=bf(a)不可能有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.
②當(dāng)2<a≤4時(shí),由(1)知f(x)在(-∞,$\frac{a+2}{2}$]和[a,+∞)上分別是增函數(shù),
在[$\frac{a+2}{2}$,a]上是減函數(shù),
當(dāng)且僅當(dāng)2a<b•f(a)<$\frac{(a+2)^{2}}{4}$時(shí),方程f(x)=b•f(a)有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.
即1<t<$\frac{(a+2)^{2}}{8a}$=$\frac{1}{8}$(a+$\frac{4}{a}$+4).
令g(a)=a+$\frac{4}{a}$,g(a)在a∈(2,4]時(shí)是增函數(shù),
故g(a)max=5.
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是(1,$\frac{9}{8}$).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的最值,函數(shù)單調(diào)性的運(yùn)用,滲透了分類討論思想,綜合性較強(qiáng),是較難的一道題.

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