如圖，正三棱柱底面邊長(zhǎng)為
2
．
（1）若側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：AB1⊥BC1；
（2）若AB1與BC1成60°角，求側(cè)棱長(zhǎng)．
分析：（1）利用向量的數(shù)量積公式，可得結(jié)論；
（2）利用向量的夾角公式，建立方程，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)
AA1
=
a
，
AB
=
b
，
AC
=
c
，
知|
a
|=1，|
b
|=|
c
|=
2
，
a
•
b
=
a
•
c
=0，
b
•
c
=1．
而
AB1
•
BC1
=(
a
+b
)•(
a
-
b
+
c
)=0
故AB1⊥BC1.4′
（2）由（1）知
AB1
=
a
+b
，
BC1
=
a
-
b
+
c
，
∴|cos＜
AB1
，BC1
＞|=
|(
a
+
b
)•(
a
-
b
+
c
)|
(
a
+
b
)2
(
a
-
b
+
c
)2
=cos60°
即2||
a
|2-1|=|
a
|2+2解得|
a
|=2
故側(cè)棱AA1的長(zhǎng)為2.4′
點(diǎn)評(píng)：本題考查線線垂直，考查線線角，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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一個(gè)正三棱柱（底面為等邊三角形，側(cè)棱垂直于底面）的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)相等，體積為
6
2
，它的三視圖中的俯視圖如圖所示，側(cè)視圖是一個(gè)矩形，則這個(gè)正三棱柱底面邊長(zhǎng)為
2
2
；側(cè)視圖的面積是
3
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年康杰中學(xué)）（12分）如圖所示，正三棱柱底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，D是AC的中點(diǎn)

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（2）求二面角的大小；

（3）求直線與平面所成角的正弦值。

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（03年北京卷理）（15分）

如圖，已知正三棱柱底面邊長(zhǎng)為3，，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．

（1）求證：直線∥面；

（2）求二面角的大��；

（3）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年甘肅省蘭州一中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，正三棱柱底面邊長(zhǎng)為．
（1）若側(cè)棱長(zhǎng)為1，求證：AB1⊥BC1；
（2）若AB1與BC1成60°角，求側(cè)棱長(zhǎng)．

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