Question

20．在參加市里主辦的科技知識競賽的學生中隨機選取了40名學生的成績作為樣本，這40名學生的成績?nèi)�部�?0分至100分之間，現(xiàn)將成績按如下方式分成6組：第一組，成績大于等于40分且小于50分；第二組，成績大于等于50分且小于60分；…第六組，成績大于等于90分且小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．在選取的40名學生中．
（1）求成績在區(qū)間[80，90）內(nèi)的學生人數(shù)及成績在區(qū)間[60，100]內(nèi)平均成績；
（2）從成績大于等于80分的學生中隨機選3名學生，求至少有1名學生成績在區(qū)間[90，100]內(nèi)的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率和為1求出成績在區(qū)間[80，90）的頻率，乘以樣本容量可得成績在區(qū)間[80，90）內(nèi)的學生人數(shù)；然后分別求出各區(qū)間段內(nèi)的人數(shù)，乘以對應(yīng)矩形中點的橫坐標，作和后除以學生人數(shù)得平均成績；
（2）求出成績在區(qū)間[80，90）內(nèi)的學生有4人，記這四個人分別為a，b，c，d．成績在區(qū)間[90，100]內(nèi)的學生有2人，記這兩個人分別為e，f，用枚舉法列出事件總數(shù)，可得事件“至少有1名學生成績在區(qū)間[90，100]之間”的基本事件數(shù)，作比得答案．

解答 解：（1）∵各組的頻率之和為1，
∴成績在區(qū)間[80，90）的頻率為1-（0.005×2+0.015+0.020+0.045）×10=0.1，
∴40名學生中成績在區(qū)間[80，90）的學生人數(shù)為40×0.1=4，
成績在區(qū)間[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]內(nèi)的人數(shù)分別為18，8，4，2，
∴成績在區(qū)間[60，100]內(nèi)的平均成績?yōu)?\frac{1}{32}×（{65×18+75×8+85×4+95×2}）=71.875$；
（2）設(shè)A表示事件“在成績大于等于80分的學生中隨機選2名學生，
至少有1名學生成績在區(qū)間[90，100]內(nèi)”，
由已知（1）的結(jié)果可知成績在區(qū)間[80，90）內(nèi)的學生有4人，
記這四個人分別為a，b，c，d．
成績在區(qū)間[90，100]內(nèi)的學生有2人，
記這兩個人分別為e，f，則選取學生的所有可能結(jié)果為：$fe\left\{{\begin{array}{l}a\\ b\\ c\\ d\end{array}，ab\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.}\right.ac\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.ad\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.bc\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.bd\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.cd\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.abc，abd，acd，bcd$，
事件總數(shù)為20．
事件“至少有1名學生成績在區(qū)間[90，100]之間”的可能結(jié)果為$fe\left\{{\begin{array}{l}a\\ b\\ c\\ d\end{array}，ab\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.}\right.ac\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.ad\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.bc\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.bd\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}，}\right.cd\left\{{\begin{array}{l}e\\ f\end{array}}\right.$，
基本事件為數(shù)16，
∴$P（A）=\frac{16}{20}=\frac{4}{5}$．

點評 本題考查頻率分布直方圖，考查學生讀取圖表的能力，訓練了隨機事件的概率的求法，屬中檔題．