Question

觀察下列等式
1=1                     第一個(gè)式子
2+3+4=9                 第二個(gè)式子
3+4+5+6+7=25            第三個(gè)式子
4+5+6+7+8+9+10=49       第四個(gè)式子
照此規(guī)律下去
（Ⅰ）寫出第6個(gè)等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）第6個(gè)等式6+7+8+…+16=11²；
（Ⅱ）猜測(cè)第n個(gè)等式為n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）²．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 解：（Ⅰ）第6個(gè)等式6+7+8+…+16=11²…（2分）
（Ⅱ）猜測(cè)第n個(gè)等式為n+（n+1）+（n+2）+…（3n-2）=（2n-1）²…（4分）
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)顯然成立；
（2）假設(shè)n=k（k≥1，k∈N₊）時(shí)也成立，
即有k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）=（2k-1）²…（6分）
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）
=k+（k+1）+（k+2）+…（3k-2）+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k
=（2k-1）²+（3k-1）+（3k）+（3k+1）-k
=[2（k+1）-1]²，
而右邊=[2（k+1）-1]²，
這就是說(shuō)n=k+1時(shí)等式也成立．…（10分）
根據(jù)（1）（2）知，等式對(duì)任何n∈N₊都成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查觀察、猜想能力及論證推理能力，猜想出結(jié)論是關(guān)鍵，屬于中檔題．