Question

6．已知點A（1，0），點P是圓F：（x+1）²+y²=20上一動點，線段AP的垂直平分線交FP于點M，記點M的軌跡為曲線C．
（1）求曲線C的方程；
（2）已知點B（0，$\sqrt{5}$），D（-4，0），若直線l：y=kx+$\sqrt{5}$與曲線C有兩個不同的交點G和H，是否存在常數(shù)k，使得向量（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）⊥$\overrightarrow{BD}$（O為坐標原點）？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得F（-1，0），圓F的半徑，運用垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義，即可得到所求軌跡方程；
（2）將直線y=kx+$\sqrt{5}$代入橢圓4x²+5y²=20，設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），運用韋達定理和判別式，假設(shè)（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）⊥$\overrightarrow{BD}$，運用向量垂直的條件：數(shù)量積為0，解方程可得k，即可判斷．

解答 解：（1）由題意可得F（-1，0），圓F的半徑為2$\sqrt{5}$，
|MF|+|MA|=|MF|+|MP|=|FP|=2$\sqrt{5}$＞|FA|=2，
由橢圓的定義可得，M的軌跡為以F，A為焦點，長軸長為2$\sqrt{5}$的橢圓，
即有a=$\sqrt{5}$，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
則曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）將直線y=kx+$\sqrt{5}$代入橢圓4x²+5y²=20，可得
（4+5k²）x²+10$\sqrt{5}$kx+5=0，①
設(shè)G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{10\sqrt{5}k}{4+5{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2$\sqrt{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{4+5{k}^{2}}$，
由B（0，$\sqrt{5}$），D（-4，0），可得$\overrightarrow{BD}$=（-4，-$\sqrt{5}$），
若（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）⊥$\overrightarrow{BD}$，即有（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）•$\overrightarrow{BD}$=0，
即有-4（x₂+x₁）-$\sqrt{5}$（y₁+y₂）=0，
可得-4•（-$\frac{10\sqrt{5}k}{4+5{k}^{2}}$）-$\frac{40}{4+5{k}^{2}}$=0，
解得k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
當k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$時，方程①的判別式為500k²-20（4+5k²）=0不滿足題意．
故不存在這樣的常數(shù)k，使得（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）⊥$\overrightarrow{BD}$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，注意運用垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，同時考查向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理的運算能力，屬于中檔題．