Question

12．已知定義域為（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足：（1）對任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）當x∈（1，2]時，f（x）=2-x．給出如下結論：
①對任意m∈Z，有f（2^m）=0；②函數(shù)f（x）的值域為[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2ⁿ+1）=9；④“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”；其中所有正確結論的序號是①②④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)定義可求出f（2）=0，再逐步遞推f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0；
②分區(qū)間分別討論，得出在定義域內函數(shù)的值域；
③根據(jù)②的結論x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x，求出f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，再判斷是否存在n值；
④由②的結論x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x顯然可得結論．

解答 解：∵x∈（1，2]時，f（x）=2-x．
∴f（2）=0．f（1）=$\frac{1}{2}$f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2^kx）=2^kf（x）．
①f（2^m）=f（2•2^m-1）=2f（2^m-1）=…=2^m-1f（2）=0，故正確；
②設x∈（2，4]時，則 $\frac{1}{2}$x∈（1，2]，∴f（x）=2f（ $\frac{x}{2}$）=4-x≥0．
若x∈（4，8]時，則 $\frac{1}{2}$x∈（2，4]，∴f（x）=2f（ $\frac{x}{2}$）=8-x≥0．
…
一般地當x∈（2^m，2^m+1），
則 $\frac{x}{{2}^{m}}$∈（1，2]，f（x）=2^m+1-x≥0，
從而f（x）∈[0，+∞），故正確；
③由②知當x∈（2^m，2^m+1），f（x）=2^m+1-x≥0，
∴f（2ⁿ+1）=2ⁿ⁺¹-2ⁿ-1=2ⁿ-1，假設存在n使f（2ⁿ+1）=9，
即2ⁿ-1=9，∴2ⁿ=10，
∵n∈Z，
∴2ⁿ=10不成立，故錯誤；
④由②知當x∈（2^k，2^k+1）時，f（x）=2^k+1-x單調遞減，為減函數(shù)，
∴若（a，b）⊆（2^k，2^k+1）”，則“函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上單調遞減”，故正確．
故答案為：①②④．

點評 考查了分段函數(shù)和抽象函數(shù)的理解，要弄清題意．