Question

3．如圖，ABCD為空間四邊形，點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，點G，H分別在CD，AD上，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$CD．
求：（1）判斷EFGH的形狀；
（2）證明直線EH，F(xiàn)G必相交于一點，且這個交點在直線BD上．

Answer 1

分析 （1）由已知推導出EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，HG∥AC，HG=$\frac{1}{3}$AC，由此得到四邊形EFGH的形狀為梯形，
（2）EH和FG為梯形的兩腰，從而EH和FG必交于一點，設(shè)交點為Q，再推導出Q∈BD，由此能證明EH，F(xiàn)G和BD三線交于點Q．

解答 解：（1）∵E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，
∴EF∥AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
∵點G，H分別在CD，AD上，且DH=$\frac{1}{3}$AD，DG=$\frac{1}{3}$CD，
∴△HGD∽△ACD，
∴HG∥AC，HG=$\frac{1}{3}$AC，
∴EF∥HG，EF≠HG，
四邊形EFGH的形狀為梯形，
證明：（2）∵EH和FG為梯形EFGH的兩腰，
∴EH和FG必交于一點，設(shè)交點為Q，
∵Q∈EH，EH?平面ABD，Q∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，
∴Q∈平面ABD，Q∈平面BCD，
∵面ABD∩面BCD=BD，∴Q∈BD，
∴EH，F(xiàn)G和BD三線交于點Q．

點評 本題考查四邊形形狀的判斷，考查三線交于一點的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．