Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωx-2sin²$\frac{ωx}{2}$（ω＞0）的最小正周期為3π．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)f（x）在$（{-\frac{π}{2}，π}）$的值域；
（3）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，且a＜b＜c，$\sqrt{3}$a=2csinA，若f（$\frac{3}{2}$A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{11}{13}$，求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）先利用二倍角公式的變形形式及輔助角公式把函數(shù)化簡為y=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）-1，根據(jù)周期公式可求ω，進(jìn)而求f（x）即可；
（2）根據(jù)x的范圍求出$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$的范圍，從而求出函數(shù)f（x）的值域即可；
（3）先求出A的三角函數(shù)值，再求出A+B的值，根據(jù)兩角和的余弦公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin（?x）-2•$\frac{1-cos（ωx）}{2}$
=$\sqrt{3}$sin（?x）+cos（?x）-1
=2sin（?x+$\frac{π}{6}$）-1，
依題意函數(shù)f（x）的最小正周期為3π，
即$\frac{2π}{ω}$=3π，解得?=$\frac{2}{3}$，
所以f（x）=2sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$）-1；
（2）x∈$（{-\frac{π}{2}，π}）$時(shí)：$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時(shí)：f（x）取得最小值-2，
$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)：f（x）取得最大值1，
故函數(shù)f（x）的值域是（-2，1]；
（3）$\sqrt{3}$a=2csinA，由正弦定理得
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{2sinA}{\sqrt{3}}$=$\frac{sinA}{sinC}$，…（8分）
又sinA≠0，∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，…（9分）
又因?yàn)?nbsp;a＜b＜c，所以C=$\frac{2π}{3}$，
由f（$\frac{3}{2}$A+$\frac{π}{2}$）=$\frac{11}{13}$，
得：2sin[$\frac{2}{3}$（$\frac{3A}{2}$+$\frac{π}{2}$）+$\frac{π}{6}$]-1=$\frac{11}{13}$，
∴2sin（A+$\frac{π}{2}$）-1=$\frac{11}{13}$，
∴cosA=$\frac{12}{13}$，sinA=$\frac{5}{13}$，
而A+B=π-C=$\frac{π}{3}$，
∴cos（A+B）=cos$\frac{π}{3}$，
∴cosAcosB-sinAsinB=$\frac{1}{2}$，
∴676cos²B-24×26cosB+69=0，
解得：cosB=$\frac{{5\sqrt{3}+12}}{26}$或$\frac{{5\sqrt{3}-12}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，正弦定理的應(yīng)用，是一道中檔題．