Question

如圖，已知矩形中，為的中點(diǎn)，沿將三角形折起，使.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）取中點(diǎn)H，先證明垂直于平面,進(jìn)而證明平面；（Ⅱ）建立直角坐標(biāo)系，構(gòu)造向量,平面的法向量，利用公式求解.

試題解析：（Ⅰ）∵在矩形中，為的中點(diǎn)，

∴為等腰直角三角形，

∴,即.                 （1分）

取中點(diǎn)H，連結(jié)，則，

在中，,

在中，又，

                （2分）

又                  （3分）

∴面，                    （4分）

而平面，                   （5分）

∴平面⊥平面.                 （6分）

（Ⅱ）解：分別以直線為x軸和y軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，.

∴  （7分）

設(shè)平面的一個(gè)法向量為

由得

即令則，

取                        （9分）

設(shè)為直線與平面所成的角，

則                （11分）

即直線與平面所成角的正弦值為         （12分）

考點(diǎn)：1.面面垂直的判定；2.線面角的求解;3利用空間直角坐標(biāo)系求線面角.