Question

14．已知函數(shù)f（x）=x³+mx²+nx-2的圖象在點（-1，f（-1））處的切線方程為9x-y+3=0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）（x∈[0，3]）的值域為A，函數(shù)f（x）（x∈[a，a+$\frac{3}{2}$]）的值域為B，當A⊆B時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由f′（-1）=9及點（-1，f（-1））在切線9x-y+3=0上列關(guān)于m，n的方程組求得m，n的值，則函數(shù)解析式可求，進一步利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，在（2，3）內(nèi)單調(diào)遞增，求出集合A，再由x∈[a，a+$\frac{3}{2}$]的值域為B，且A⊆B，對a分類求解得答案．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2mx+n，
∴f′（-1）=-2m+n+3，①
由題意可知f′（-1）=9，即2m-n+6=0，
∵點（-1，f（-1））在切線9x-y+3=0上，
∴f（-1）=-6，即（-1）³+m（-1）²+n（-1）-2=-6，即m-n+3=0，②
聯(lián)立①②解得m=-3，n=0，
∴f（x）=x³-3x²-2．
∴f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）．
令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）．
令f′（x）＜0，得0＜x＜2，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2）；
（2）由（1）知，f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，在（2，3）內(nèi)單調(diào)遞增，
且f（0）=f（3）=-2，f（2）=-6，∴A=[-6，-2]．
由（1）知f（-1）=f（2）=-6，欲使A⊆B，
當a≤-1時，應有$a+\frac{3}{2}≥0$，此時，$-\frac{3}{2}≤a≤-1$；
當-1＜a≤0時，應有$a+\frac{3}{2}≥2$，此時a不存在；
當0＜a≤2時，應有$a+\frac{3}{2}≥3$，此時$\frac{3}{2}≤a≤2$；
當a＞2時，顯然不滿足條件．
綜上，所求實數(shù)a的取值范圍[-$\frac{3}{2}$，-1]∪[$\frac{3}{2}，2$]．

點評 本題考查利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．