Question

若把函數(shù)y=lnx的圖象繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)α角后與y軸相切，則tanα=（　　）

• A．

  1

  e

• B．e
• C．-e
• D．-

  1

  e

Answer 1

分析：設(shè)y=lnx的圖象的切線的斜率為k，切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意可得 k=

lnx0

x0

=

1

x0

，求得x₀=e．由此能求出tanθ．

解答：解：利用函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)α角后與y軸相切，
知函數(shù)y=lnx的一條切的傾斜角為

π

2

-α，
設(shè)y=f（x）=lnx的圖象的切線的斜率為k，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則由題意可得，切線的斜率為 k=

y0

x0

=

lnx0

x0

，
∵y=lnx，
∴y′=

1

x

，
再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得 k=f′（x₀）=

1

x0

，
∴

lnx0

x0

=

1

x0

，∴x₀=e．
再由α的意義可得，tanα=cot（

π

2

-α）=

1

k

=x₀=e．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的意義及其應(yīng)用，直線的斜率公式，函數(shù)圖象的變化，屬于基礎(chǔ)題．