Question

過拋物線y²=4x焦點(diǎn)的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，已知|AB|=10，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的重心的坐標(biāo)是

(

8

3

，  ±

2

3

6

)

．

Answer 1

分析：先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并將直線設(shè)為x=my+1，代入拋物線y²=4x，運(yùn)用拋物線定義和韋達(dá)定理計(jì)算x₁+x₂和y₁+y₂的值，再由重心坐標(biāo)公式即可得△OAB的重心的坐標(biāo)

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
拋物線y²=4x焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1
依據(jù)拋物線定義，|AB|=x₁+x₂+2=10，∴x₁+x₂=8
設(shè)直線方程為x=my+1代入y²=4x
得y²-4my-4=0
∴y₁y₂=-4
∵y₁²+y₂²=（y₁+y₂）²-2y₁y₂=（y₁+y₂）²+8=4（x₁+x₂）=32
∴y₁+y₂=±2

6

△OAB的重心的坐標(biāo)為（

x1+x2

3

，

y1+y2

3

）
故答案為(

8

3

，  ±

2

3

6

)

點(diǎn)評(píng)：本題考察了拋物線的定義和直線與拋物線的關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真體會(huì)拋物線定義和韋達(dá)定理在解題中的重要應(yīng)用，熟記重心坐標(biāo)公式