Question

7．（1）若$\frac{a}{tanA}$=$\frac{tanB}$=$\frac{c}{tanC}$，判斷△ABC的形狀；
（2）若sin²A+sin²B=1，且最大邊c=12，求S的最大值；
（3）若5≤a≤7，7≤c≤8，且cosC=$\frac{2}{9}$，求S的最大值．
對問題（3）有同學給出如下解法：
S=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}$×7×8×1=28，
當a=7，c=8，B=90°時，S與最大值28．
上述解法是否正確，請說明理由；若正確，試求$\frac{a}$的取值范圍，若不正確，給出求S最大值的正確解法．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，結(jié)合A、B、C都是三角形的內(nèi)角，判斷△ABC的形狀；
（2）若sin²A+sin²B=1，△ABC為直角三角形，最大邊c=12，利用基本不等式，即可求S的最大值；
（3）利用S=$\frac{1}{2}$absinC，sinC是定值，只需求ab的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理，因為$\frac{a}{tanA}$=$\frac{tanB}$=$\frac{c}{tanC}$，
所以cosA=cosB=cosC
因為A、B、C都是三角形的內(nèi)角
所以A=B=C
所以△ABC為等邊三角形；
（2）sin²A+sin²B=1，則sin²B=cos²A
因為最長邊c=12，所以A，B均為銳角
所以，sinB=cosA，B=90°-A
所以，C=90°，△ABC為直角三角形
由勾股定理，得a²+b²=c²=144
（a-b）²≥0，a²+b²≥2ab
所以，ab≤$\frac{1}{2}$（a²+b²）=72
S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≤$\frac{1}{4}$（a²+b²）=36
所以，當a=b時，△ABC的面積最大值=36；
（3）由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-$\frac{4}{9}$ab≥2ab-$\frac{4}{9}$ab=$\frac{14}{9}$ab，
∵7≤c≤8，
∴64≥$\frac{14}{9}$ab，
∴ab≤$\frac{288}{7}$，
∵cosC=$\frac{2}{9}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{77}}{9}$
∴S≤$\frac{1}{2}×\frac{288}{7}×\frac{\sqrt{77}}{9}$，
∴S的最大值為$\frac{1}{2}×\frac{288}{7}×\frac{\sqrt{77}}{9}$=$\frac{144}{63}\sqrt{77}$．

點評 本題考查正弦定理、余弦定理，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．