Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=PD，點F是棱PD的中點，點E為CD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAC；
（2）證明：AF⊥EF．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）證明EF∥平面PAC，可直接利用三角形的中位線定理得到EF∥PC，然后由線面平行的判定定理得結(jié)論；
（2）要證PE⊥AF，因為PE?面PCD，可證AF⊥面PCD，由已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，易得AF⊥CD，再由PA=AD，點F是棱PD的中點得到AF⊥PD，AF⊥平面PDC，即可證明AF⊥EF；

解答： （1）證明：如圖，
∵點E，F(xiàn)分別為CD，PD的中點，
∴EF∥PC．
∵PC?平面PAC，EF?平面PAC，
∴EF∥平面PAC．

（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，點F是PD的中點，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵EF?平面PDC，
∴AF⊥EF．

點評：本題考查了線面平行的判定，考查了由線面垂直得線線垂直，綜合考查了學生的空間想象能力和思維能力，是中檔題．