Question

4．已知中心在原點O的圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點P（$\sqrt{3}$，$\frac{1}{2}$），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（I）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）動直線1：y=kx+m與橢圓相交于A，B兩點，且△AOB的面積恒為1，若M為線段AB的中點，問是否存在兩個定點P，Q，使得|MP|+|MQ|為定值？若存在，求P，Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （I）將P代入橢圓方程，以及運用離心率公式，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由y=kx+m代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及中點坐標公式和點到直線的距離公式，化簡整理，得到M的軌跡為橢圓，運用定義，即可得到所求定點和定值．

解答 解：（I）將P代入橢圓方程，可得
$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{4^{2}}$=1，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）由y=kx+m代入橢圓方程，可得
（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
即有x₁+x₂=-$\frac{8km}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
中點M為（-$\frac{4km}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$），
弦長|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}-\frac{16{m}^{2}-16}{1+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{4{k}^{2}+1-{m}^{2}}}{1+4{k}^{2}}$，
又O到直線AB的距離為d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
則S_△AOB=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{2|m|\sqrt{4{k}^{2}-{m}^{2}+1}}{1+4{k}^{2}}$=1，
化簡為1+4k²=2m²，
即有$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-4km}{1+4{k}^{2}}}\\{y=\frac{m}{1+4{k}^{2}}}\end{array}\right.$，可得m=$\frac{1}{2y}$，2k=-$\frac{x}{2y}$，
即有1+$\frac{{x}^{2}}{4{y}^{2}}$=$\frac{1}{2{y}^{2}}$，即為$\frac{{x}^{2}}{2}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1．
由橢圓的定義可得，P，Q為兩焦點（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
即有|MP|+|MQ|=2$\sqrt{2}$．
故存在兩個定點P，Q，且為（-$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
使得|MP|+|MQ|為定值2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用離心率公式和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式和中點坐標公式，考查橢圓的定義的運用，屬于中檔題．