Question

已知函數(shù)f（x）=

ex

1+ax2

，其中a為實(shí)數(shù)，常數(shù)e=2.718…．
（1）若x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)a取正實(shí)數(shù)時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=-4時(shí)，直接寫出函數(shù)f（x）的所有減區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)x=

1

3

，利用函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，列出關(guān)系式即可求a的值；
（2）當(dāng)a取正實(shí)數(shù)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)函數(shù)為0，判斷函數(shù)的符號(hào)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)a=-4時(shí)，結(jié)合（2）即可直接寫出函數(shù)f（x）的所有減區(qū)間．

解答： （本小題滿分12分）
（1）解：f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

（2分）
因?yàn)?span id="nr6sqhz" class="MathJye">x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′(

1

3

)=0，
即

1

9

a-

2

3

a+1=0，a=

9

5

．
而當(dāng)a=

9

5

時(shí)，ax2-2ax+1=

9

5

(x2-2x+

5

9

)=

9

5

(x-

1

3

)(x-

5

3

)，
可驗(yàn)證：x=

1

3

是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)．因此a=

9

5

．（4分）
（2）當(dāng)a取正實(shí)數(shù)時(shí)，f′(x)=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，
令f'（x）=0得ax²-2ax+1=0，
當(dāng)a＞1時(shí)，解得x1=

a- a2-a

a

，x2=

a+ a2-a

a

．
所以當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）、f（x）的變化是

x	(-∞， a- a2-a a )	a- a2-a a	( a- a2-a a ， a+ a2-a a )	a+ a2-a a	( a+ a2-a a ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，

a- a2-a

a

)，(

a+ a2-a

a

，+∞)，
單調(diào)減區(qū)間為(

a- a2-a

a

，

a+ a2-a

a

)；
當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f'（x）≥0恒成立，故f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，+∞）．（9分）
（3）當(dāng)a=-4時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間是(-∞，-

1

2

)，(-

1

2

，1-

5

2

)，(1+

5

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等，以及函數(shù)與不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力．