過拋物線C：y2=2px（p＞0）上的點(diǎn)M分別向C的準(zhǔn)線和x軸作垂線，兩條垂線及C的準(zhǔn)線和x軸圍成邊長為4的正方形，點(diǎn)M在第一象限．
（1）求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）過點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與拋物線C交與A、B兩點(diǎn)，如果點(diǎn)M在直線AB的上方，求△MAB面積的最大值．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）求出M的坐標(biāo)，代入拋物線方程，即可求得p的值，從而可求拋物線C的方程及點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（2）求出直線MA的斜率、直線MB的斜率，可得直線AB的斜率，可得直線AB的方程，與拋物線方程聯(lián)立，可得△MAB的面積，利用導(dǎo)數(shù)知識，即可求△MAB面積的最大值．
解答： 解：（1）拋物線C的準(zhǔn)線x=-
p
2
，依題意M（4-
p
2
，4），
則42=2p（4-
p
2
），解得p=4．
故拋物線C的方程為y2=8x，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4），…（3分）
（2）設(shè)A（
y
2
1
8
，y1），B（
y
2
2
8
，y2）．
直線MA的斜率k1=
y1-4
y
2
1
8
-2
=
8
y1+4
，同理直線MB的斜率k2=
8
y2+4
．
由題設(shè)有
8
y1+4
+
8
y2+4
=0，整理得y1+y2=-8．
直線AB的斜率k=
y1-y2
y
2
1
8
-
y
2
2
8
=
8
y1+y2
=-1．…（6分）
設(shè)直線AB的方程為y=-x+b．
由點(diǎn)M在直線AB的上方得4＞-2+b，則b＜6．
由
y2=8x
y=-x+b
得y2+8y-8b=0．
由△=64+32b＞0，得b＞-2．于是-2＜b＜6．…（9分）
|y1-y2|=
(y1+y2)2-4y1y2
=4
2b+4
，
于是|AB|=
2
|y1-y2|=8
b+2
．
點(diǎn)M到直線AB的距離d=
6-b
2
，則△MAB的面積
S=
1
2
|AB|•d=2
2(b+2)(6-b)2
．
設(shè)f（b）=（b+2）（6-b）2，則f′（b）=（6-b）（2-3b）．
當(dāng)b∈（-2，
2
3
）時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)b∈（
2
3
，6）時(shí)，f′（x）＜0．
當(dāng)b=
2
3
時(shí)，f（b）最大，從而S取得最大值
128
3
9
．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查拋物線方程，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，設(shè)bn=log
1
3
an，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為Sn，求數(shù)列{
1
Sn
}（n∈N*）的前n項(xiàng)和Tn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
.
a
=（cos
B
2
，
1
2
）與向量
.
b
=（
1
2
，cos
B
2
）共線，其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角．
（Ⅰ）求角B的大小
（Ⅱ）若cosC=
3
5
，求cosA的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對的邊長，若a2+b2-c2=absin2C
（1）求角C；
（2）若c-a=2，
AB
•
AC
=36，求sinA+sinB-sinC．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)到其右準(zhǔn)線的距離為1，到右頂點(diǎn)的距離為
2
-1，圓O：x2+y2=a2，P為圓O上任意一點(diǎn)．
（1）求a，b；
（2）過點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，線段PH與橢圓交點(diǎn)為M，求
MH
PH
；
（3）過點(diǎn)P作橢圓E的一條切線l，直線m是經(jīng)過點(diǎn)P且與切線l垂直的直線，試問：直線m是否經(jīng)過一定點(diǎn)？如果是，請求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F1（-3，0），過點(diǎn)F1作一條直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A1，兩直線AB，A1B的斜率之積為-
16
25
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知D（m，0）為F1右側(cè)的一點(diǎn)，連AD，BD分別交橢圓左準(zhǔn)線于M，N兩點(diǎn)，若以MN為直徑的圓恰好過點(diǎn)F1，求m的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，|AA1|=|BC|=1，|AC|=
2
，點(diǎn)M是BB1的中點(diǎn)，Q是AB的中點(diǎn)．
（1）若P是A1C1上的一動(dòng)點(diǎn)，求證：PQ⊥CM；
（2）求二面角A-A1B-C大小的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）從集合{-1，0，1，2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為m，從集合{0，1}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為n，求m-2n=0的概率；
（Ⅱ）從集合{x|-1≤x≤2}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從集合{y|0≤y≤1}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，求a-2b＞0的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+（4-2a）x+a2+1．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a∈[-8，0]，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0]上的最小值為7？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案