Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）是否存在實數(shù)a∈[-8，0]，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0]上的最小值為7？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由于函數(shù)f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1的對稱軸方程為x=a-2，（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則有a-2≤1，由此求得實數(shù)a的取值范圍．
（2）分①當a-2＜-4時、②當-4≤a-2≤0時、③當a-2＞0時三種情況，分別根據(jù)函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0]上的最小值為7求得a的值，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²+（4-2a）x+a²+1的對稱軸方程為x=a-2，
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則有a-2≤1，求得a≤3，故實數(shù)a的取值范圍為（-∞，3]．
（2）①當a-2＜-4時，即a＜-2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0]上是增函數(shù)，最小值為f（-4），
再由f（-4）=16+8a-16+a²+1=7，求得a=-4±

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，不滿足a∈[-8，0]．
②當-4≤a-2≤0時，即-2≤a≤2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0]上的最小值為f（a-2），
再由f（a-2）=4a-3=7，求得a=

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，不滿足a∈[-8，0]．
③當a-2＞0時，即a＞2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-4，0]上是減函數(shù)，最小值為f（0），
再由f（-4）=a²+1=7，求得a=±

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，其中a=-

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 滿足a∈[-8，0]．
綜上可得，存在a=-

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 滿足條件．

點評：本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．