Question

19．已知中心在坐標原點的橢圓C的一個頂點為（0，1），一個焦點為F（2，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點F的直線l交橢圓C于A，B，交y軸于M，若$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，且$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的焦點在x軸上，設(shè)出橢圓方程，由橢圓的性質(zhì)可知：b=1，c=2，即可求得a的值，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)出A、B和C點的坐標，根據(jù)向量的坐標表示分別表示出$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，和$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，并將A和B的坐標代入橢圓方程，即可求得λ₁，λ₂是方程x2+10+5-5${y}_{0}^{2}$=0的兩個根，
∴λ₁+λ₂=-10，由韋達定理即可求得λ₁+λ₂為定值．

解答 解：（1）設(shè)橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0），
則由題知b=1，c=2，
a²=b²+c²=5，
故a²=5，
∴橢圓 C的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}+{y}^{2}=1$．
證明：（2）設(shè)A，B，M點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀），
又知F點為（2，0）．
∵$\overrightarrow{MA}$=λ₁$\overrightarrow{AF}$，
∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁）．
∴x₁=$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$，y₁=$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$．
將點A坐標代到橢圓方程得$\frac{1}{5}$（$\frac{2{λ}_{1}}{1+{λ}_{1}}$）²+（$\frac{{y}_{0}}{1+{λ}_{1}}$）²=1，故${λ}_{1}^{2}$+10λ₁+5-5${y}_{0}^{2}$=0．
同理，由$\overrightarrow{MB}$=λ₂$\overrightarrow{BF}$，可得：${λ}_{2}^{2}$+10λ₂+5-5${y}_{0}^{2}$=0，
∴λ₁，λ₂是方程x2+10+5-5${y}_{0}^{2}$=0的兩個根，
∴λ₁+λ₂=-10．
即λ₁+λ₂為定值-10．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查根與系數(shù)的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想，推理能力與計算能力，屬于中檔題．