Question

函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=b至多有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=3x²-3a，且

f′(2)=3(4-a)=0 f(2)=8-6a+b=8

，由此能求出a，b．
（2）由f′（x）=3（x²-a）（a≠0），利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)．
（3）分別求出函數(shù)的極大值和極小值，由此能求出實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-3ax+b（a≠0），
∴f′（x）=3x²-3a，
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處與直線y=8相切，
∴

f′(2)=3(4-a)=0 f(2)=8-6a+b=8

，
解得a=4，b=24．
（2）f′（x）=3（x²-a）（a≠0），
當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)f（x）沒有極值點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0，得x=±

a

，
當(dāng)x∈（-∞，-

a

）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（-

a

，

a

）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
此時(shí)x=-

a

是f（x）的極大值點(diǎn)，x=

a

是f（x）的極小值點(diǎn)．
（3）由（2）知，當(dāng)a＞0時(shí)，
f(x)極大值=f(-

a

)=-a

a

+3a

a

+b=2a

a

+b，
f（x）_極小值=f（

a

）=a

a

-3a

a

+b=-2a

a

+b．
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，-2a

a

+b）∪[2a

a

+b，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識．考查運(yùn)算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想的合理運(yùn)用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．