Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1為f（x）的極值點(diǎn)，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在[-2，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，x=1為f（x）的極值點(diǎn)，可得f′（1）=0，即可求a的值；
（Ⅱ）由在x=1處的切線方程是x+y-3=0，得到f'（1）=-1，1+f（1）-3=0，聯(lián)立方程組求得a，b的值，則函數(shù)解析式可求，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)（-3，3）上的極值，和端點(diǎn)值比較后得最值．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=x²-2ax+（a²-1）…（1分）
∵x=1為f（x）的極值點(diǎn)，∴f′（1）=0，即 a²-2a=0，
∴a=0或2．…（2分）
經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意．…（3分）
（Ⅱ）∵（1，f（1））是切點(diǎn)，∴1+f（1）-3=0，
∴f（1）=2，即a2-a+b-

8

3

=0．…（4分）
∵切線方程x+y-3=0的斜率為-1，
∴f'（1）=-1，即a²-2a+1=0，…（5分）
∴a=1，b=

8

3

．…（6分）
∴f(x)=

1

3

x3-x2+

8

3

，∴f'（x）=x²-2x．
由f'（x）=0及x∈[-2，1]得x=0．…（7分）

x	-2	（-2，0）	0	（0，1）	1
f'（x）		+	0	-
f（x）	-4	↗	極大值 8 3	↘	2

…（9分）
故f（x）在[-2，1]上的最大值為f(0)=

8

3

和最小值為f（-2）=-4．…（10分）

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程．是有一定難度題目．