Question

動(dòng)圓與直線x=-2相切，且過(guò)橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的右焦點(diǎn)F．
（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線l交圓心C的軌跡于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的右焦點(diǎn)F（2，0），設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），由已知得（x+2）²=（x-2）²+y²，由此能求出動(dòng)圓圓心C的軌跡方程．
（2）過(guò)點(diǎn)F（2，0）且斜率為1的直線l的方程為：y=x-2，聯(lián)立

y=x-2 y2=8x

，得x²-12x+4=0，由此能求出|AB|．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

9

+

y2

5

=1的右焦點(diǎn)F（2，0），
設(shè)動(dòng)圓圓心P（x，y），
∵動(dòng)圓與直線x=-2相切，
∴r²=（x+2）²=（x-2）²+y²，
∴y²=8x，
∴動(dòng)圓圓心C的軌跡方程為y²=8x．
（2）過(guò)點(diǎn)F（2，0）且斜率為1的直線l的方程為：y=x-2，
聯(lián)立

y=x-2 y2=8x

，得x²-12x+4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=12，x₁x₂=4，
∴|AB|=

(1+1)(144-16)

=16．

點(diǎn)評(píng)：本題考查動(dòng)圓圓心C的軌跡方程的求法，考查弦長(zhǎng)|AB|的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．